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17 Novembre 2015

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Kamperezh Karr - L'optimisaeur - Page C800.
Copyright PapyFetnat, 2013-2015. ISBN 978-2-907103-08-3.
Copie possible après autorisation préalable et lien hypertexte en retour vers cette page.

Présentation

    Quand on prépare un itinéraire, on a souvent le choix entre plusieurs trajets, et on recherche alors le meilleur, ce qui n'est pas toujours évident, car cela dépend des critères, souvent personnels, que l'on privilégie.

Les critères

    Le premier critère est la longueur du trajet L entre le point d'arrivée et le point de départ. En général, le plus court est le meilleur.

    Le second critère est le temps de parcours T. En général, on cherche à réaliser le trajet prévu le plus rapidement possible. Mais il y a des fois où on aime bien musarder le long d'une jolie rivière ou en traversant des villages pittoresques ... pour y faire une petite pause ...

    Le troisième critère est le coût du déplacement C. Ce cout se subdivise en trois parties, avec C = Cc+Cp+Cs :
       - La consommation de carburant Cc, qui résulte de la longueur du trajet et de la vitesse moyenne. En général, on dépense davantage de carburant sur une autoroute à 130 km/h que sur nationale à 90 km/h.
       - Les péages Cp : tronçons d'autoroute, ouvrages d'art (pont, viaduc, tunnel, ...)
       - Les taxes spéciales Cs, comme la vignette suisse anuelle ...
       Nous ne prenons pas en compte l'amortissement du véhicule.

Choix des critères

    En général, nous chercherons à optimiser le temps de parcours et le coût du déplacement. Si nous empruntons la nationale, le temps de parcours sera plus long, mais nous n'aurons pas de péage à payer. Par contre, si nous prenons l'autoroute à péage, nous serons plus vite rendus à destination. Quel est le meilleur choix ?

    Et comment intégrer les taxes spéciales Cs ? Par exemple, pour un trajet Paris-Venise, on intègrera la taxe Cs sur un aller-retour, alors que les péages des tunnels seront doublés, à moins de bénéficier d'un tarif aller-retour, en général très limité dans le temps ...

Approche mathématique

    Nous avons ici deux critères que nous souhaitons optimiser conjointement.

    Pour avoir le meilleur temps de parcours, maintenant que le maillage autoroutier de la France et de l'Europe est bien avancé, il suffit en général de choisir le trajet autoroutier le plus court.

    Pour avoir le trajet le plus économique, il suffit de retenir le trajet direct par les routes nationales et départementales, et d'éviter les péages.

    Maintenant, comment optimiser simultanément ces deux critères en partie antinomiques, et trouver une solution qui approche le temps de parcours sur autoroute pour un coût à peine plus élevé que la nationale ?

    En mathématique, quand on cherche à minimiser simultanément deux fonctions indépendantes, on minimise leur produit. La question est de savoir si les deux variables temps de parcours T et Coût (essence + péages) C sont réellement indépendantes. Ce n'est pas tout à fait vrai, car il y a une corrélation positive entre le temps de parcours et le coût en carburant. Par contre le péage induit en général une corrélation négative entre son coût et le temps de parcours. En première approximation, nous supposerons l'indépendance des deux fonctions T et C. Mais cela reste à établir plus formallement ...

    Nous allons donc effectuer la fonction produit F = T * C que nous allons évaluer pour chacun des itinéraires possibles. Le meilleur itinéraire sera celui pour lequel la fonction produit F=T*C donnera la plus petite valeur.

    En général, le temps T est exprimé en heures et minutes, que l'on convertira en minutes. Le cout C sera exprimé dans la monnaie courante de référence, ici l'Euro.

Exemple

    A titre d'exemple, nous introduisons ici le cas d'école du viaduc de Millau, péage placé au milieu d'une autoroute gratuite (la A75). Nous avons le choix entre prendre le viaduc pour franchir rapidement la vallée du Tarn et éviter un dénivelé de 270 m, ou alors traverser Millau avec ses embouteillages, franchir le Tarn en fond de vallée, puis remonter et économiser 7€.

    Pour l'itinéraire, nous allons prendre deux villes situées respectivement au nord et au sud de Millau, de façon à ce que l'itinéraire passe naturellement par Millau. Ce sera Saint Flour dans le Cantal au nord, et Lodève dans l'Hérault au sud.

    Nous avons retenu un véhicule de type routière qui consomme 8l/100 de gazole à 1.1€/l
    Lien vers la feuille de calcul Open Office.


 ViaMichelin
 		Villes
 D Distance
 Temps (h)
 T Temps (mn)
 Cc
 Cp
C
 F = T*C
1a
 avec péage
183 km
 1h54
 114
 16,10€
 7.50€
23.60€
 2690
1b
avec péage

183 km
1h54
114
16,10€
9.40€
25.50€
2907
2
 sans péage
 Millau
 189 km
 2h15
 135
 16,63€
 0€
16.63€
 2245


Mappy
 		Villes
 D Distance
 Temps (h)
 T Temps (mn)
 Cc
 Cp
C
 F = T*C
1a
avec péage

183 km
1h46
106
16,10€
7.50€ 23.60€
2502
1b
 avec péage
183 km
 1h46
 106
 16,10€
 9.40€
25.50€
 2703
2
 sans péage
 Millau
 190 km
 2h04
 124
 16,72€
 0€
16.72€
 2073


GoogleMaps
 Villes
 D Distance
 Temps (h)
 T Temps (mn)
 Cc
 Cp
C
 F = T*C
1a
avec péage

187 km
1h49
109
16,10€
7.50€ 23.95€
2611
1b
 avec péage
187 km
 1h49
 109
 16,10€
 9.40€
25.50€
 2818
2
 sans péage
 Millau
 194 km
 2h03
 123
 16,72€
 0€
16.72€
 2099

On remarquera que le prix du péage n'est pas le même selon les sites ... 7.50€ pour Michelin, 9.40€ pour Mappy ...
En fait les deux ont raison : il y a un tarif hors été de 7.50€ et un tarif été (Juillet-Aout) de 9.40€
Dans tous les cas, pour 20 mn de trajet en plus, on économise près de 10€

http://www.leviaducdemillau.com/#/accueil/
http://fr.wikipedia.org/wiki/Viaduc_de_Millau
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